Фамилия образована от крестильного имени Абакум (официально писалось Аввакум) - с др.-евр. - любовь божия .Абаша, Абашка уменьшительные формы этого имени. Образована от полной формы этого имени, такие фамилии были характерны для среды священнослужителей.
Есть и 'окающие' варианты этой же фамилии - Обакумов, Обакшин. Фамилии на абаш могут бть как и от имени Абакум, так и от тюркского имени (см. Абашев). А еще, на русской почве, можно предположить связь с диалектным або - 'либо, или, лишь бы'. Возможно так могли прозвать человека, часто произносящего это слово.
1.
2.